Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{3} (2 x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{3} (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{3} (2 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{3} (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 5

Associez $\sin^{3} (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 7

Factorisez $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ comme $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Étape 9

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 9.1

Laissez $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Étape 9.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{1}{2} (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (2 x)) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x) + \frac{\cos^{3} (2 x)}{3}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- \cos (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^{3} (2 x)}{3} + C$

Étape 15.4

Associez.

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1 \cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Étape 15.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.1

Multipliez $\cos^{3} (2 x)$ par $1$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Étape 15.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{\cos^{3} (2 x)}{6} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{6} \cos^{3} (2 x) + C$