Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sqrt{y} d y$

Étape 1

Écrivez $6 \sqrt{y} d y$ comme une fonction.

$f (y) = 6 \sqrt{y} d y$

Étape 2

La fonction $F (y)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (y)$ .

$F (y) = \int f (y) d y$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (y) = \int 6 \sqrt{y} d y d y$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 y^{\frac{1}{2}} d y d y$

Étape 4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int 6 d (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) d y$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 6 d y^{\frac{1}{2} + 1} d y$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 6 d y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d y$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 6 d y^{\frac{1 + 2}{2}} d y$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 6 d y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 5

Comme $6 d$ est constant par rapport à $y$ , placez $6 d$ en dehors de l’intégrale.

$6 d \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$6 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $6 d (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ comme $6 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$6 d \frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Associez $6$ et $\frac{2}{5}$ .

$d \frac{6 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$d \frac{12}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Associez $d$ et $\frac{12}{5}$ .

$\frac{d \cdot 12}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.4

Déplacez $12$ à gauche de $d$ .

$\frac{12 \cdot d}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 7.2.5

Associez $\frac{12 d}{5}$ et $y^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{12 d y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

$\frac{12}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (y) = 6 \sqrt{y} d y$ .

$F (y) =$ $\frac{12}{5} d y^{\frac{5}{2}} + C$