Calcul infinitésimal Exemples

$x {(4 x - 1)}^{4}$

Étape 1

Écrivez $x {(4 x - 1)}^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x {(4 x - 1)}^{4} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int x ({(4 x)}^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\int x (4^{4} x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 {(4 x)}^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} + 4 (4^{3} x^{3}) \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.4

Multipliez $4$ par $4^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.4.1

Déplacez $4^{3}$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $4^{3}$ par $4$ .

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Étape 4.2.4.2.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{3} \cdot 4^{1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x (256 x^{4} + 4^{3 + 1} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int x (256 x^{4} + 4^{4} x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.5

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\int x (256 x^{4} + 256 x^{3} \cdot - 1 + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.6

Multipliez $- 1$ par $256$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 {(4 x)}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.7

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (4^{2} x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 6 (16 x^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.9

Multipliez $16$ par $6$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} \cdot 1 + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.11

Multipliez $96$ par $1$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 4 (4 x) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.12

Multipliez $4$ par $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} + 16 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.14

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + {(- 1)}^{4}) d x$

Étape 4.2.15

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\int x (256 x^{4} - 256 x^{3} + 96 x^{2} - 16 x + 1) d x$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (256 x^{4}) + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 256 x \cdot x^{4} + x (- 256 x^{3}) + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Étape 4.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + x (96 x^{2}) + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Étape 4.4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} + x (- 16 x) + x \cdot 1 d x$

Étape 4.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x \cdot 1 d x$

Étape 4.4.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int 256 x \cdot x^{4} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1.1

Déplacez $x^{4}$ .

$\int 256 (x^{4} x) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 256 (x^{4} x^{1}) - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 256 x^{4 + 1} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x \cdot x^{3} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 4.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 (x^{3} x^{1}) + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{3 + 1} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x \cdot x^{2} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.3

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x) - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 (x^{2} x^{1}) - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{2 + 1} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x \cdot x + x d x$

Étape 4.5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 (x \cdot x) + x d x$

Étape 4.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\int 256 x^{5} - 256 x^{4} + 96 x^{3} - 16 x^{2} + x d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 256 x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 6

Comme $256$ est constant par rapport à $x$ , placez $256$ en dehors de l’intégrale.

$256 \int x^{5} d x + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 256 x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 8

Comme $- 256$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 256$ en dehors de l’intégrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 \int x^{4} d x + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 96 x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 10

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , placez $96$ en dehors de l’intégrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 \int x^{3} d x + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 16 x^{2} d x + \int x d x$

Étape 12

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 16$ en dehors de l’intégrale.

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 \int x^{2} d x + \int x d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$256 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

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Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$256 (\frac{x^{6}}{6} + C) - 256 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 96 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 16 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15.2

Simplifiez

$\frac{128 x^{6}}{3} - \frac{256 x^{5}}{5} + 24 x^{4} - \frac{16 x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 17

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x {(4 x - 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $\frac{128}{3} x^{6} - \frac{256}{5} x^{5} + 24 x^{4} - \frac{16}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$