Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (- \sin (x))$

Étape 1

Écrivez $e^{x} (- \sin (x))$ comme une fonction.

$f (x) = e^{x} (- \sin (x))$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\sin (x)$ .

$- \int \sin (x) e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x)$

Étape 7

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x)$

Étape 8

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x))$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Étape 10

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Étape 10.2

Multipliez $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x))$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 11

En résolvant $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ , nous trouvons que $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$- (\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Réécrivez $- (\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C)$ comme $- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$ .

$- \frac{e^{x} (\sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses.

$- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = e^{x} (- \sin (x))$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{x} (\sin (x) - \cos (x)) + C$