Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{3 + 1}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.2.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} \sqrt{x} d x$

Étape 4.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) d x$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3} d x$

Étape 4.4.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 4.4.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 4.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{1 + 6}{2}} d x$

Étape 4.4.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int x^{\frac{4}{3}} + 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{4}{3}} d x + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + \int 3 x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 \int x^{\frac{7}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C + 3 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + 3 (\frac{2}{9}) x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $3$ et $\frac{2}{9}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{6}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $9$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 (2)}{9} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt[3]{x} + 3 x^{3} \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{2}{3} x^{\frac{9}{2}} + C$