Calcul infinitésimal Exemples

$\sec (4 x) - \cot (4 x)$

Étape 1

Écrivez $\sec (4 x) - \cot (4 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sec (4 x) - \cot (4 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sec (4 x) - \cot (4 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sec (4 x) d x + \int - \cot (4 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 5.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sec (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1} + \int - \cot (4 x) d x$

Étape 6

Associez $\sec (u_{1})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sec (u_{1})}{4} d u_{1} + \int - \cot (4 x) d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \sec (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (4 x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) + \int - \cot (4 x) d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) - \int \cot (4 x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 10.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 11

Associez $\cot (u_{2})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) - (\frac{1}{4} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Étape 13

L’intégrale de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) + C) - \frac{1}{4} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{4} \ln (| \sec (u_{1}) + \tan (u_{1}) |) - \frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) - \frac{1}{4} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) - \frac{1}{4} \ln (| \sin (4 x) |) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sec (4 x) - \cot (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) + \tan (4 x) |) - \frac{1}{4} \ln (| \sin (4 x) |) + C$