Calcul infinitésimal Exemples

$f^{4} (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{6}{\sqrt{x}} = f^{4} x$

Étape 2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$f^{4} x \cdot (\sqrt{x}) = 6$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f^{4} x (\sqrt{x})$ .

$f^{4} x \sqrt{x} = 6$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(f^{4} x \sqrt{x})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(f^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${(f^{4} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(f^{4} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(f^{4} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(f^{4} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(f^{4} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(f^{4} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(f^{4} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $f^{4} x^{\frac{3}{2}}$ .

${(f^{4})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(f^{4})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4 \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{8} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{8} x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{8} x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{8} x^{3} = 6^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f^{8} x^{3} = 36$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $f^{8} x^{3} = 36$ par $f^{8}$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $f^{8} x^{3} = 36$ par $f^{8}$ .

$\frac{f^{8} x^{3}}{f^{8}} = \frac{36}{f^{8}}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $f^{8}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f^{8} x^{3}}{f^{8}} = \frac{36}{f^{8}}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{36}{f^{8}}$

Étape 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{36}{f^{8}}}$

Étape 5.3

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{36}{f^{8}}}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\frac{36}{f^{8}}$ comme ${(\frac{1}{f^{2}})}^{3} \frac{36}{f^{2}}$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $36$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} \cdot 36}{f^{8}}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez la puissance parfaite ${(f^{2})}^{3}$ dans $f^{8}$ .

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} \cdot 36}{{(f^{2})}^{3} f^{2}}}$

Étape 5.3.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} \cdot 36}{{(f^{2})}^{3} f^{2}}$ .

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{f^{2}})}^{3} \frac{36}{f^{2}}}$

Étape 5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1}{f^{2}} \sqrt[3]{\frac{36}{f^{2}}}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{36}{f^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{f^{2}}}$ .

$x = \frac{1}{f^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{36}}{\sqrt[3]{f^{2}}}$

Étape 5.3.4

Associez.

$x = \frac{1 \sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $\sqrt[3]{36}$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$

Étape 5.3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{36}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} \sqrt[3]{f^{2}} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}$

Étape 5.3.7.2

Déplacez $\sqrt[3]{f^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} (\sqrt[3]{f^{2}} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2})}$

Étape 5.3.7.3

Élevez $\sqrt[3]{f^{2}}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} ({\sqrt[3]{f^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2})}$

Étape 5.3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{1 + 2}}$

Étape 5.3.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{3}}$

Étape 5.3.7.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{f^{2}}}^{3}$ comme $f^{2}$ .

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Étape 5.3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{f^{2}}$ comme $f^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} {(f^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Étape 5.3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.3.7.6.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 5.3.7.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{6}{3}}}$

Étape 5.3.7.6.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.3.7.6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Étape 5.3.7.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Étape 5.3.7.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Étape 5.3.7.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{\frac{2}{1}}}$

Étape 5.3.7.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2} f^{2}}$

Étape 5.3.8

Multipliez $f^{2}$ par $f^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{2 + 2}}$

Étape 5.3.8.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} {\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{f^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(f^{2})}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{{(f^{2})}^{2}}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez les exposants dans ${(f^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.3.9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{2 \cdot 2}}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{4}}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9.3

Factorisez $f^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{36} \sqrt[3]{f^{3} f}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{\sqrt[3]{36} f \sqrt[3]{f}}{f^{4}}$

Étape 5.3.9.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \frac{f \sqrt[3]{36 f}}{f^{4}}$

Étape 5.3.10

Annulez le facteur commun à $f$ et $f^{4}$ .

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Étape 5.3.10.1

Factorisez $f$ à partir de $f \sqrt[3]{36 f}$ .

$x = \frac{f (\sqrt[3]{36 f})}{f^{4}}$

Étape 5.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.10.2.1

Factorisez $f$ à partir de $f^{4}$ .

$x = \frac{f (\sqrt[3]{36 f})}{f \cdot f^{3}}$

Étape 5.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{f \sqrt[3]{36 f}}{f \cdot f^{3}}$

Étape 5.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\sqrt[3]{36 f}}{f^{3}}$

Étape 6

Pour réécrire comme une fonction de $f$ , écrivez l’équation de sorte que $x$ figure seul d’un côté du signe égal et qu’une expression avec uniquement $f$ figure de l’autre côté.

$f (f) = \frac{\sqrt[3]{36 f}}{f^{3}}$