Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x - x^{7}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{7}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - x^{7} + 2 x}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Étape 1.2.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x - x^{7}}{3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{7}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{7}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{7}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - (7 x^{6})}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - 7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{7} - 2 x^{3} + 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.8.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.9.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4 + 0}$

Étape 3.11

Additionnez $21 x^{6} - 6 x^{2} + 4$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 x^{6} + 2}{21 x^{6} - 6 x^{2} + 4}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 7 x^{6}}{x^{6}} + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.1.2

Divisez $- 7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{\frac{21 x^{6}}{x^{6}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $21$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6 x^{2}}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{6}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{x^{2} \cdot - 6}{x^{2} x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 + \frac{- 6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 7 + \frac{2}{x^{6}}}{21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 7 + \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 7 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 5.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 7 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{6}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - \frac{6}{x^{4}} + \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $21$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 7.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}$

Étape 9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{6}}$ approche de $0$ .

$\frac{- 7 + 2 \cdot 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- 7 + 0}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 11.1.2

Additionnez $- 7$ et $0$ .

$\frac{- 7}{21 - 6 \cdot 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 11.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 4 \cdot 0}$

Étape 11.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0 + 0}$

Étape 11.2.3

Additionnez $21 + 0$ et $0$ .

$\frac{- 7}{21 + 0}$

Étape 11.2.4

Additionnez $21$ et $0$ .

$\frac{- 7}{21}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $21$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{21}$

Étape 11.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $21$ .

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 3}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3}$

Étape 11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$