Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{7 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7 \cdot 0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + \sin (3 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

Étape 1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 1.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} + \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

Étape 1.3.6.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Étape 1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{7 x - \sin (x)}{x^{2} + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + \sin (3 x)]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Étape 3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.7.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.7.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}$

Étape 3.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + \cos (3 x) \cdot 3}$

Étape 3.7.5

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 - \cos (x)}{2 x + 3 \cos (3 x)}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + 3 \cos (3 x)}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 lim_{x \to 0} x + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7 - \cos (0)}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{7 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Étape 14.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 - 1}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $1$ de $7$ .

$\frac{6}{2 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

Étape 14.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cos (0)}$

Étape 14.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{6}{0 + 3 \cdot 1}$

Étape 14.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{6}{0 + 3}$

Étape 14.2.5

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{6}{3}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1}$

Étape 14.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2$