Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 10 \cdot - 4 = - 40$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 4 b^{2} + 3 a b} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 4 b^{2}$ et $3 a b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 a b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + 3 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.1.4

Réécrivez $3$ comme $- 5$ plus $8$

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} + (- 5 + 8) (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 (a b) + 8 (a b) - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{10 a + 3 b}{10 a^{2} - 5 a b + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{10 a + 3 b}{(10 a^{2} - 5 a b) + 8 a b - 4 b^{2}} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{10 a + 3 b}{5 a (2 a - 1 b) + 4 b (2 a - b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 a - 1 b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - 1 b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{25 a^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $25 a^{2}$ comme ${(5 a)}^{2}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - 16 b^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $16 b^{2}$ comme ${(4 b)}^{2}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{{(5 a)}^{2} - {(4 b)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5 a$ et $b = 4 b$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - (4 b))}$

Étape 1.2.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)} \cdot \frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{10 a + 3 b}{(2 a - b) (5 a + 4 b)}$ par $\frac{5 a - 4 b}{5 a - 4 b}$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} \cdot \frac{2 a - b}{2 a - b}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{a + 2 b}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$ par $\frac{2 a - b}{2 a - b}$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(5 a + 4 b) (5 a - 4 b) (2 a - b)$ .

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)} - \frac{(a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(10 a + 3 b) (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(10 a + 3 b) (5 a - 4 b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a (5 a - 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a - 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 a (5 a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{10 \cdot 5 a \cdot a + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{10 \cdot 5 (a \cdot a) + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{10 \cdot 5 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $10$ par $5$ .

$\frac{50 a^{2} + 10 a (- 4 b) + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} + 10 \cdot - 4 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 b (5 a) + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 3 \cdot 5 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 b (- 4 b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b \cdot b - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.9.1

Déplacez $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 (b \cdot b) - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a + 3 \cdot - 4 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 b a - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 40 a b$ et $15 b a$ .

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 40 a b + 15 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 40 a b$ et $15 a b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - (a + 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - (2 b)) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} + (- a - 2 b) (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.5

Développez $(- a - 2 b) (2 a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a - b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a - b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - a (2 a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a \cdot a - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 (a \cdot a) - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 1 \cdot 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - a (- b) - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + 1 a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.6

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 b (2 a) - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 2 \cdot 2 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 b (- b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b \cdot b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.10

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.10.1

Déplacez $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 (b \cdot b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.10.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a - 2 \cdot - 1 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.1.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 b a + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $4 b a$ de $a b$ .

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Étape 6.6.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} + a b - 4 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.6.2.2

Soustrayez $4 a b$ de $a b$ .

$\frac{50 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 2 a^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.7

Soustrayez $2 a^{2}$ de $50 a^{2}$ .

$\frac{48 a^{2} - 25 a b - 12 b^{2} - 3 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.8

Soustrayez $3 a b$ de $- 25 a b$ .

$\frac{48 a^{2} - 12 b^{2} - 28 a b + 2 b^{2}}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 12 b^{2}$ et $2 b^{2}$ .

$\frac{48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10

Réécrivez $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ en forme factorisée.

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Étape 6.10.1

Factorisez $2$ à partir de $48 a^{2} - 10 b^{2} - 28 a b$ .

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Étape 6.10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $48 a^{2}$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) - 10 b^{2} - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 b^{2}$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) - 28 a b}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 28 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (24 a^{2}) + 2 (- 5 b^{2})$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (24 a^{2} - 5 b^{2}) + 2 (- 14 a b)$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 5 b^{2} - 14 a b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.10.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 24 \cdot - 5 = - 120$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 6.10.2.1.1

Remettez dans l’ordre $- 5 b^{2}$ et $- 14 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.1.2

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 a b$ .

$\frac{2 (24 a^{2} - 14 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.1.3

Réécrivez $- 14$ comme $6$ plus $- 20$

$\frac{2 (24 a^{2} + (6 - 20) (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 (a b) - 20 (a b) - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.1.5

Déplacez les parenthèses.

$\frac{2 (24 a^{2} + 6 a b - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.10.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((24 a^{2} + 6 a b) - 20 a b - 5 b^{2})}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (6 a (4 a + b) - 5 b (4 a + b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

Étape 6.10.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 a + b$ .

$\frac{2 ((4 a + b) (6 a - 5 b))}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$

$\frac{2 (4 a + b) (6 a - 5 b)}{(2 a - b) (5 a + 4 b) (5 a - 4 b)}$