Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{2 x + 5}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} 2 x + 5}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + 5}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{2 x + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x + 5$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.8

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{3 x + 5}$ et $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [2 x + 5]}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.11

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.11.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.11.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.11.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 + \frac{d}{d x} [5]}$

Étape 3.12

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2 + 0}$

Étape 3.13

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{2}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{3}{3 x + 5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{(3 x + 5) \cdot 2}$

Étape 5.2

Placez le terme $\frac{3}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x + 5}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{3 x + 5}$ approche de $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0$

Étape 7

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $0$ .

$0$