Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} \ln (\frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 4} \frac{x}{4})}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} lim_{x \to 4} x)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (\frac{1}{4} \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{\ln (\frac{x}{4})}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{4})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 \frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{x} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.9

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Étape 3.12

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x + 0}$

Étape 3.13

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{x (2 x)}$

Étape 5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x)}$

Étape 5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 (x^{1} x^{1})}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{2}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x^{2}}$

Étape 6.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 4^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{4}}$

Étape 8.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 + 4}}$

Étape 8.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{1}{2^{5}}$

Étape 8.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{32}$