Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $\frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cot (0)}{\ln (0)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}{\ln (0)}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$

Étape 2.4

Comme $\frac{\frac{\cos (0)}{0}}{\ln (0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 4.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Étape 4.1.1.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Étape 4.1.1.3

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (x)$ diminue sans borne.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 4.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{- \infty}$

Étape 4.1.2

Comme $\frac{\infty}{- \infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(\cot (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 4.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 4.1.3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \csc^{2} (x)}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc^{2} (x) x$

Étape 4.2

Réécrivez $- \csc^{2} (x) x$ comme $\frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} - x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.3.1.2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 4.3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.3.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Étape 4.3.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.3.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.3.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 4.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.3.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.3.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 4.3.3.6

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Étape 4.3.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Étape 4.3.3.8

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Étape 4.3.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Étape 4.3.3.10

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Étape 4.3.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.3.11.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Étape 4.3.3.11.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Étape 4.3.3.11.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.3.3.11.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.3.3.11.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.3.3.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.3.3.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.3.11.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{\sin (2 x)}$

Étape 4.3.4

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 4.3.5

Convertissez de $\frac{1}{\sin (2 x)}$ à $\csc (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1}{1} \csc (2 x)$

Étape 4.3.6

Divisez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \csc (2 x)$

Étape 4.4

Comme la fonction $\csc (2 x)$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

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Étape 4.4.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $- 1$ retiré.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (2 x)$

Étape 4.4.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\infty$

Étape 4.4.3

Comme la fonction $\csc (2 x)$ approche de $\infty$ , la constante négative $- 1$ fois la fraction approche de $- \infty$ .

$- \infty$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$