Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{3^{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 3^{x}}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3^{x}}$

Étape 1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $3^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{3^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3^{x}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{3^{x} \ln (3)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{\ln (3)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{3^{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{3^{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{\ln (3)}$ par $0$ .

$0$