Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Étape 1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 \ln (\sec (x))}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} \ln (\sec (x))}$

Étape 1.3.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{2 \ln (lim_{x \to 0} \sec (x))}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{0}{2 \ln (\sec (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \ln (\sec (0))}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{2 \ln (1)}$

Étape 1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2 \ln (\sec (x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2 \ln (\sec (x))]}$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (\sec (x))$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.7

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 3.8

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.9

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))}$

Étape 3.10

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cos (x) \sec (x) \tan (x)}$

Étape 3.11

Simplifiez

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Étape 3.11.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)}$

Étape 3.11.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)}$

Étape 3.11.1.3

Réécrivez $2 \cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)}$

Étape 3.11.1.4

Annulez les facteurs communs.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 1 \tan (x)}$

Étape 3.11.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \tan (x)}$

Étape 3.11.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.11.4

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 2 x \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{2 \cos (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x (2 \cos (x))}{2 \sin (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{x (\cos (x))}{\sin (x)}$ à $x \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} x \cot (x)$

Étape 8

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Étape 9

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Étape 10

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $1$ .

$1$

Étape 11

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Étape 12

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Étape 13

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $1$ .

$1$