Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{0}{\sin (5 π)}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{0}{\sin (π)}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{\sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (5 π x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 π x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 3.4

Comme $5 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 π x$ par rapport à $x$ est $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Étape 3.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) (5 π)}$

Étape 3.7

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\cos (5 π x) \cdot 5 π}$

Étape 3.8

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cdot \cos (5 π x) π}$

Étape 3.9

Multipliez $5$ par $\cos (5 π x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 \cos (5 π x) π}$

Étape 3.10

Réorganisez les facteurs de $5 \cos (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{5 π \cos (5 π x)}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{5 π \cos (5 π x)}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (5 π \cos (5 π x))}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{5 π}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5 π} lim_{x \to 1} \frac{1}{x (\cos (5 π x))}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x (\cos (5 π x))}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Étape 10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Étape 11

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{1 \cdot \cos (5 π \cdot 1)}$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$

Étape 13.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 π \cdot 1)}$ à $\sec (5 π \cdot 1)$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π \cdot 1)$

Étape 13.3

Multipliez $5 π$ par $1$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (5 π)$

Étape 13.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{5 π} \sec (π)$

Étape 13.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{5 π} (- \sec (0))$

Étape 13.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5 π} (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5 π} \cdot - 1$

Étape 13.8

Associez $\frac{1}{5 π}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{5 π}$

Étape 13.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5 π}$