Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{-1} (x)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Étape 1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite de $\sin^{-1} (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{-1} (0)}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Étape 1.2.2

La valeur exacte de $\sin^{-1} (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 9 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 \cdot 0}$

Étape 1.3.3

Multipliez $9$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} (x)}{9 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin^{-1} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\frac{d}{d x} [9 x]}$

Étape 3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9 \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{9}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ par $\frac{1}{9}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot 9}$

Étape 5.2

Placez le terme $\frac{1}{9}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 5.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}$

Étape 5.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 5.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 5.8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 0^{2}}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Étape 7.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0^{2}}}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 - 0}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1 + 0}}$

Étape 7.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{9 \sqrt{1}}$

Étape 7.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{9 \cdot 1}$

Étape 7.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{9}$