Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.1.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.6

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.7

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(6 x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(6 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(6 \cdot 0)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.3.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sec^{2} (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (5 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (5 x)$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.3.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.7

Déplacez $5$ à gauche de $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.8

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.10

Élevez $\sec (5 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.11

Élevez $\sec (5 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.14

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 (\sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.4.15

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Soustrayez $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sec (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.5

Associez $- 10$ et $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.7

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.8

Multipliez $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

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Étape 3.5.8.1

Multipliez $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ par $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{2} (5 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.8.2.1

Multipliez $\cos (5 x)$ par $\cos^{2} (5 x)$ .

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Étape 3.5.8.2.1.1

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.5.9

Déplacez $10$ à gauche de $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Étape 3.6

Appliquez la règle de produit à $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [6^{2} x^{2}]}$

Étape 3.7

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [36 x^{2}]}$

Étape 3.8

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 (2 x)}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $36$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{72 x}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} \cdot \frac{1}{72 x}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{72 x}$ par $\frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $72$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $72 x \cos^{3} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 5.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 5.4

Placez le terme $\frac{5}{36}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.2.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.2.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Étape 6.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Étape 6.1.3.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 6.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.3.6.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (0)}$

Étape 6.1.3.6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1^{3}}$

Étape 6.1.3.6.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.6.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 6.1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 6.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 6.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Étape 6.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos^{3} (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Étape 6.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 6.3.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.9.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.12

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1 + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.14

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \cdot 1}$

Étape 6.3.16

Multipliez $\cos^{3} (5 x)$ par $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 6.3.17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.6

Placez le terme $15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.8

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.10

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.12

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Étape 7.13

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Étape 7.14

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Étape 7.15

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 8.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Multipliez $- \frac{5}{36} \cdot 5$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{5}{36}) \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.1.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{36}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{- 25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $- 15$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.6

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.8

Multipliez $0$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Étape 9.4.9

Multipliez $5$ par $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Étape 9.4.10

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Étape 9.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Étape 9.4.12

Additionnez $0$ et $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 9.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 9.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{25}{36} \cdot 1$

Étape 9.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{25}{36}$