Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (x)}$ par $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{1}{x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} x$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{x \ln (x)}$ et $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \ln (x)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x)}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\ln (x)}$ approche de $0$ .

$0$