Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t} + t^{2}}{e^{t} - t}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par le terme qui augmente le plus rapidement dans le dénominateur.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $e^{t}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant $t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{t}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Étape 8

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 8.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 8.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Étape 8.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Étape 8.1.3

Comme l’exposant $t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 8.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 8.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Étape 8.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 8.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Étape 8.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{t}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

Étape 10.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 10.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 10.3

Divisez $1$ par $1$ .

$1$