Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\cot^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.2.1.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cot^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot^{2} (x)}{1 - \sin (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cot (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.5

Réorganisez les facteurs de $- 2 \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{0 - \cos (x)}$

Étape 3.9

Soustrayez $\cos (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)}$

Étape 4

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\csc^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$- 2 \frac{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.4

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$- 2 \frac{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.6.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \frac{1^{2} \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{1 \cdot \cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.6.3

Multipliez $\cot (\frac{π}{2})$ par $1$ .

$- 2 \frac{\cot (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.2.6.4

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \cos (x)}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.3.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 \frac{0}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 5.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 2 \frac{0}{- \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2})}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.3.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 2 \frac{0}{- 0}$

Étape 5.1.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 2 (\frac{0}{0})$

Étape 5.2

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cot (x)}{- \cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc^{2} (x)$ et $g (x) = \cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.3

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \cdot - 1 \csc^{2} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.1

Déplacez $\csc^{2} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{{\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\csc^{4} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $- 1 \csc^{4} (x)$ comme $- \csc^{4} (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 5.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + \cot (x) \cdot 2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.9

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) \cdot - 1 \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.11

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{1} (x) \cot (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.12

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.15

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{1} (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.16

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.19

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Étape 5.3.20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{- \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 5.3.21

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{- - 1 \sin (x)}$

Étape 5.3.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{1 \sin (x)}$

Étape 5.3.23

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{\sin (x)}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 2 \frac{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$- 2 \frac{- 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot^{2} (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.5

Déplacez l’exposant $2$ de $\cot^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{- 2 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x))}^{2} \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.6

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.7

Déplacez l’exposant $2$ de $\csc^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{4} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.9

Déplacez l’exposant $4$ de $\csc^{4} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{4}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 6.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 7.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$- 2 \frac{- 2 \cdot 0^{2} \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 \frac{- 2 \cdot 0 \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$- 2 \frac{0 \cdot \csc^{2} (\frac{π}{2}) - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.4

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \frac{0 \cdot 1^{2} - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{0 \cdot 1 - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$- 2 \frac{0 - \csc^{4} (\frac{π}{2})}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 \frac{0 - 1^{4}}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{0 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \frac{0 - 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.1.10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 2 \frac{- 1}{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 2 (\frac{- 1}{1})$

Étape 8.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Étape 8.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2$