Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Étape 1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Étape 1.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Étape 3.5

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}$

Étape 3.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \cdot 8}$

Étape 3.8

Déplacez $8$ à gauche de $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cdot \cos (8 x)}$

Étape 3.9

Multipliez $8$ par $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cos (8 x)}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{8 \cos (8 x)}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ par $\frac{1}{8 \cos (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (8 \cos (8 x))}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Étape 12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Étape 13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Étape 14

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{8 ((0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0))}$

Étape 16.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Étape 16.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.3.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cos (0)}$

Étape 16.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{8 (0 + 1) \cos (0)}$

Étape 16.3.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1 \cos (0)}$

Étape 16.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{8 \cos (0)}$

Étape 16.3.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Étape 16.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{8}$