Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - 5^{x} - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{6^{lim_{x \to 1} x} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{6^{1} - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 5^{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6 - 5 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6 - 5 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} - 5^{x} - 1}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x} - 5^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6^{x} - 5^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [6^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) + \frac{d}{d x} [- 5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5^{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.4.3

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.6

Additionnez $6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6^{x} \ln (6) - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 7

Placez le terme $\ln (6)$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) lim_{x \to 1} 6^{x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 5^{x} \ln (5)}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 9

Placez le terme $\ln (5)$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) lim_{x \to 1} 5^{x}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{lim_{x \to 1} x} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{lim_{x \to 1} x}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}}{1}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Divisez $\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6^{1} - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (\ln (6) \cdot 6 - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Étape 12.2.2

Déplacez $6$ à gauche de $\ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (6 \cdot \ln (6) - \ln (5) \cdot 5^{1})$

Étape 12.2.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - \ln (5) \cdot 5)$

Étape 12.2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (6 \ln (6) - 5 \ln (5))$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (6 \ln (6)) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \ln (6)$ .

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (3 \ln (6))) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Étape 12.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (6) + \frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$

Étape 12.5

Multipliez $\frac{1}{2} (- 5 \ln (5))$ .

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Étape 12.5.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5}{2} \ln (5)$

Étape 12.5.2

Associez $\frac{- 5}{2}$ et $\ln (5)$ .

$3 \ln (6) + \frac{- 5 \ln (5)}{2}$

Étape 12.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \ln (6) - \frac{5 \ln (5)}{2}$