Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 10 x}{2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 10 x}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.2.3

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.3.1

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{0 - \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.2.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{0 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.2.3.2.2

Soustrayez $\infty$ de $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 2 x + lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 x}}$

Étape 1.3.1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \infty}{\infty + \frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{- \infty}{\infty + \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{- \infty}{\infty + 0}$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $\infty$ et $0$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 10 x}{2 x + \frac{1}{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} - 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} - 10 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 10 x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- x^{- 2} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x + \frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + \frac{1}{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.7.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.8.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 + \frac{1}{3} (- x^{- 2})}$

Étape 3.8.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 - \frac{x^{- 2}}{3}}$

Étape 3.8.5

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{2 - \frac{1}{3 x^{2}}}$

Étape 3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $- 10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10 \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Étape 4.2

Associez $- 10$ et $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2}$

Étape 4.4

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + 2 \cdot \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}}$

Étape 4.5

Associez $2$ et $\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{- \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 - 10 x^{2}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 10 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7.1.2

Divisez $- 10$ par $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} - 10}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} - 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 0 - lim_{x \to \infty} 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 (3 x^{2})}{3 x^{2}}}$

Étape 9.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 2 \cdot 3 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 9.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- 1 + 6 x^{2}}{x^{2}}}$

Étape 10

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 11.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 11.1.2

Divisez $6$ par $1$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2}} + 6}{1}}$

Étape 11.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2}} + 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 11.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{- 0 + lim_{x \to \infty} 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 10}{1}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{1}}$

Étape 13.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.3.1

Divisez $0 - 1 \cdot 10$ par $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 6}{1}}$

Étape 13.3.2

Divisez $0 + 6$ par $1$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Étape 13.3.3

Annulez le facteur commun à $0 - 1 \cdot 10$ et $0 + 6$ .

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Étape 13.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 \cdot 10}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Étape 13.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 10$ .

$\frac{- 1 (0) - 1 (10)}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Étape 13.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - 1 (10)$ .

$\frac{- 1 (0 + 10)}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Étape 13.3.3.4

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (0 + 10)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{\frac{1}{3} (0 + 6)}$

Étape 13.3.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{1}{3} (0 + 6)$ .

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{2 (\frac{1}{3} (0 + 3))}$

Étape 13.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (0 + 5))}{2 (\frac{1}{3} (0 + 3))}$

Étape 13.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (0 + 5)}{\frac{1}{3} (0 + 3)}$

Étape 13.3.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{\frac{1}{3} (0 + 3)}$

Étape 13.3.5

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 13.3.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 13.3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{- 5}{\frac{3}{3}}$

Étape 13.3.8

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{- 5}{1}$

Étape 13.3.9

Divisez $- 5$ par $1$ .

$- 5$