Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.3

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - \cot (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $\frac{π}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Étape 1.3.3.3

Divisez $0$ par $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\tan (x) - \cot (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - \cot (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) - - \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + 1 \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.4.4

Multipliez $\csc^{2} (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Étape 3.7

Comme $- \frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1 + 0}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)}{1}$

Étape 4

Divisez $\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (x)$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\csc^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (x))}^{2}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\sec^{2} (\frac{π}{4}) + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$2 + \csc^{2} (\frac{π}{4})$

Étape 11.1.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 11.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 11.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 11.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 + 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 11.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 + 2^{1}$

Étape 11.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$2 + 2$

Étape 11.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$