Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos (4 x)}{x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} 4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - \cos (4 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos (4 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) \cdot 4)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- 4 \sin (4 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4.7

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 + 4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $4 \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{3 x^{2}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 4 \sin (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 0^{+}} 4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 \sin (4 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{4 \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{3 x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (4 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.5

Multipliez $4$ par $4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.7

Multipliez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 4.3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 4.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{3 (2 x)}$

Étape 4.3.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{6 x}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $16$ et $6$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16 \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{6 x}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{2 (3 x)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{2 (3 x)}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{8 \cos (4 x)}{3 x}$

Étape 5

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $3 x$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ vers la droite, la fonction augmente sans borne.

$\infty$