Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{\cos (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{2 \frac{π}{2} - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{π}{2} - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π - π}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.4

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2}{- \sin (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{- \sin (x)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)}$

Étape 4.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{1}{- \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Étape 6.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})}$ à $\csc (\frac{π}{2})$ .

$2 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.4

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$