Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 5 x + 2}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Étape 1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + \ln (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.3.2

Comme l’exposant $5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{5 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Étape 1.3.3

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Étape 1.3.4

L’infini plus l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2} - 5 x + 2}{e^{5 x} + \ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5 x + 2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 5 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.6

Additionnez $8 x - 5$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x} + \ln (x)]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{5 x} + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Étape 3.8.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.8.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.8.5

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Étape 3.9

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{5 e^{5 x} + \frac{1}{x}}$

Étape 3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + 5 e^{5 x}}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $5 e^{5 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1}{x} + \frac{5 e^{5 x} x}{x}}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5}{\frac{1 + 5 e^{5 x} x}{x}}$

Étape 5

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 5.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} (8 x - 5) \frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 5.2

Multipliez $8 x - 5$ par $\frac{x}{1 + 5 e^{5 x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} (8 x - 5) x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x \cdot x - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 (x^{1} x^{1}) - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{1 + 1} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.2.6

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x} x}$

Étape 6.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.3.1.4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.3.2

Comme l’exposant $5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{5 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x}$

Étape 6.1.3.3

Évaluez la limite.

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Étape 6.1.3.3.1

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{1 + 5 \cdot \infty \cdot \infty}$

Étape 6.1.3.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1.3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.3.2.1.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{1 + \infty \cdot \infty}$

Étape 6.1.3.3.2.1.2

L’infini fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{1 + \infty}$

Étape 6.1.3.3.2.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.3.3.2.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.3.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) x}{1 + 5 e^{5 x} x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 5) x]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 8 x - 5$ et $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(8 x - 5) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.4

Multipliez $8 x - 5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \frac{d}{d x} [8 x - 5]}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.8

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + \frac{d}{d x} [- 5])}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.9

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x (8 + 0)}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.10

Additionnez $8$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + x \cdot 8}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.11

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x - 5 + 8 \cdot x}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.12

Additionnez $8 x$ et $8 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1 + 5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 e^{5 x} x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.15

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x} x]$ .

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Étape 6.3.15.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{5 x} x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x} x]}$

Étape 6.3.15.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{5 x}$ et $g (x) = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Étape 6.3.15.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}$

Étape 6.3.15.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 6.3.15.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Étape 6.3.15.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Étape 6.3.15.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Étape 6.3.15.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Étape 6.3.15.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} \cdot 1 + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Étape 6.3.15.7

Multipliez $e^{5 x}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} (5 \cdot 1)))}$

Étape 6.3.15.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (e^{5 x} \cdot 5))}$

Étape 6.3.15.9

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 (e^{5 x} + x (5 e^{5 x}))}$

Étape 6.3.16

Simplifiez

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Étape 6.3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 5 (x (5 e^{5 x}))}$

Étape 6.3.16.2

Associez des termes.

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Étape 6.3.16.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{0 + 5 e^{5 x} + 25 (x (e^{5 x}))}$

Étape 6.3.16.2.2

Additionnez $0$ et $5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{5 e^{5 x} + 25 x e^{5 x}}$

Étape 6.3.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}}$

Étape 6.3.16.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $25 e^{5 x} x + 5 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 16 x - 5}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 7.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 x e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.1.3

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.1.4

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x} + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.2

Comme l’exposant $5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{5 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.3

Comme la fonction $e^{5 x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $5$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 7.1.3.3.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $5$ retiré.

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Étape 7.1.3.3.2

Comme l’exposant $5 x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{5 x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{25 \cdot \infty \cdot \infty + \infty}$

Étape 7.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.4.1.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty \cdot \infty + \infty}$

Étape 7.1.3.4.1.2

L’infini fois l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty + \infty}$

Étape 7.1.3.4.2

L’infini plus l’infini est l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.3.4.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x - 5}{25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x - 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 7.3.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.3.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16 + 0}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 x e^{5 x} + 5 e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [25 x e^{5 x}]$ .

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Étape 7.3.7.1

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 7.3.7.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.8

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.7.9

Multipliez $e^{5 x}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]}$

Étape 7.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{5 x}]$ .

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Étape 7.3.8.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{5 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Étape 7.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 7.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 7.3.8.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 7.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Étape 7.3.8.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 7.3.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Étape 7.3.8.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Étape 7.3.8.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 5 (5 \cdot e^{5 x})}$

Étape 7.3.8.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + 25 e^{5 x}}$

Étape 7.3.9

Simplifiez

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Étape 7.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{25 (x (5 e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Étape 7.3.9.2

Associez des termes.

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Étape 7.3.9.2.1

Multipliez $5$ par $25$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 (x (e^{5 x})) + 25 e^{5 x} + 25 e^{5 x}}$

Étape 7.3.9.2.2

Additionnez $25 e^{5 x}$ et $25 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Étape 7.3.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}}$

Étape 7.3.9.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $125 e^{5 x} x + 50 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{16}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Étape 8

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$16 lim_{x \to \infty} \frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{125 x e^{5 x} + 50 e^{5 x}}$ approche de $0$ .

$16 \cdot 0$

Étape 10

Multipliez $16$ par $0$ .

$0$