Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - \tan (x))}{x^{2} \sin (x)}$

Step 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Évaluez la limite du numérateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0) - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez chaque terme.

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La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x)}$

Évaluez la limite du dénominateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \sin (0)}$

Simplifiez la réponse.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Step 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{(\sin (x) - \tan (x))}{x^{2} \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Step 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Step 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Évaluez la limite du numérateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\cos (0) - \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez chaque terme.

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La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)}$

Évaluez la limite du dénominateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \sin (x)}$

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}$

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}$

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \sin (0)}$

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \sin (0)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 0}$

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - \sec^{2} (x)}{x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)]}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

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Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)}$

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)}$

Additionnez $\cos (x) (2 x)$ et $2 x \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Déplacez $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Additionnez $2 x \cos (x)$ et $2 x \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Step 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Évaluez la limite du numérateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez chaque terme.

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La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 2 \cdot 1 \cdot \tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 \cdot \tan (0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)}$

Évaluez la limite du dénominateur.

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Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)}$

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 0^{2} \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez chaque terme.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{- 0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 4 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (0)}$

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1 + 2 \sin (0)}$

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 2 \sin (0)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 2 \cdot 0}$

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 0}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}{- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

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Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Additionnez $2$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) (2 \sec^{2} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{4} (x) - 2 (2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sec^{4} (x) - 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Associez $- 4$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Multipliez $- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

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Multipliez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Additionnez $2$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Déplacez $4$ à gauche de $\sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{- 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)]}$

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

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Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]}$

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}$

Simplifiez

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Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)}$

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}$

Associez des termes.

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Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}$

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}$

Soustrayez $4 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

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Déplacez $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}$

Soustrayez $4 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)}$

Additionnez $4 \cos (x)$ et $2 \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Associez des termes.

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Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Pour écrire $- \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Associez $- \cos (x)$ et $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{- \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Step 6

Évaluez la limite.

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Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{- 4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez l’exposant $4$ de $\cos^{4} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez l’exposant $4$ de $\cos^{4} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 6 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (x)}$

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Step 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Step 8

Simplifiez la réponse.

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Simplifiez le numérateur.

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La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\frac{- 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{\frac{0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $\cos (0)$ par $\cos^{4} (0)$ en additionnant les exposants.

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Déplacez $\cos^{4} (0)$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos (0))}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $\cos^{4} (0)$ par $\cos (0)$ .

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Élevez $\cos (0)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos^{1} (0))}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{0 - 2 - {\cos (0)}^{4 + 1}}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - \cos^{5} (0)}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - 1^{5}}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{0 - 2 - 1 \cdot 1}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{0 - 2 - 1}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\frac{- 2 - 1}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{\frac{- 3}{\cos^{4} (0)}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Simplifiez le dénominateur.

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La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{- 3}{1^{4}}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{- 3}{1}}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3}{- 0^{2} \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Simplifiez le dénominateur.

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L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- 3}{- 0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 3}{0 \cdot \cos (0) - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 3}{0 \cdot 1 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{- 3}{0 - 6 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 6 \cos (0)}$

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 \cdot 0 + 6 \cos (0)}$

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 + 6 \cos (0)}$

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 + 6 \cdot 1}$

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{- 3}{0 + 0 + 6}$

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{- 3}{0 + 6}$

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{- 3}{6}$

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{6}$

Annulez les facteurs communs.

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Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$