Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{3 t} + t^{2}}{5 e^{3 t} - t}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par le terme qui augmente le plus rapidement dans le dénominateur.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{5 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{5 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{5 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $e^{3 t}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{\frac{5 e^{3 t}}{e^{3 t}} - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $3 t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{3 t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 3.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant $3 t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{3 t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 5.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 5.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{3 t}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 5 - \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 5 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}}}$

Étape 9

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 9.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 9.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Étape 9.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{3 t}}}$

Étape 9.1.3

Comme l’exposant $3 t$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{3 t}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 9.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 9.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{3 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}$

Étape 9.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 9.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{3 t}]}}$

Étape 9.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 3 t$ .

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Étape 9.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Étape 9.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Étape 9.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]}}$

Étape 9.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \frac{d}{d t} [t]}}$

Étape 9.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3 \cdot 1}}$

Étape 9.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t} \cdot 3}}$

Étape 9.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 t}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 e^{3 t}}}$

Étape 10

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{3 t}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{3 t}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{5 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 12.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot 0}{5 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 12.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 + \frac{2}{9} \cdot 0}{5 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 12.1.2

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{5 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 12.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{5 - \frac{1}{3} \cdot 0}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 12.2.1.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5 + 0 (\frac{1}{3})}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5 + 0}$

Étape 12.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{1}{5}$