Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2} - x + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} - lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - 1^{2} - 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1^{2} - 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.2.6.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot \sqrt{1} + 1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot \sqrt{1} + 1 - \sqrt{1} - lim_{x \to 1} x}$

Étape 1.3.6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot \sqrt{1} + 1 - \sqrt{1} - 1}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Multipliez $\sqrt{1}$ par $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} + 1 - \sqrt{1} - 1}$

Étape 1.3.7.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - \sqrt{1} - 1}$

Étape 1.3.7.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 \cdot 1 - 1}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 + 1 - 1 - 1}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{2 - 1 - 1}$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.7.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - x + 1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - x + 1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} - x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.7

Additionnez $3 x^{2} - 2 x - 1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x]}$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.9.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.11.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Étape 3.12

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.12.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.12.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.12.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Étape 3.13

Simplifiez

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Étape 3.13.1

Additionnez $\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1}$

Étape 3.13.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.13.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 4.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 1 - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5.4

Pour écrire $\frac{3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2}{2}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{(3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{\frac{(3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 6.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} (3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 1 \cdot 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} (3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 6.1.3

Multipliez $3 x^{2} - 2 x - 1$ par $\frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) (2 \sqrt{x})}{(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 6.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) (\sqrt{x})}{(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 1} (3 x^{2} - 2 x - 1) (\sqrt{x})}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{(lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{(3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{(3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{(3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{(3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.7

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{(3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{(3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{(3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{(3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.9.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{(3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \frac{(3 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \frac{(3 - 2 - 1 \cdot 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{(3 - 2 - 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 \frac{(1 - 1) \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \frac{0 \cdot \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.2.9.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} (3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} - 2 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{0}{(lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{0}{(3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.5

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.7

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 7.1.3.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{1} - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{1} - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.3.10.1.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 \frac{0}{(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \frac{0}{(3 - 1 \cdot 2) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \frac{0}{(3 - 2) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 \frac{0}{1 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.3

Multipliez $\sqrt{1}$ par $1$ .

$2 \frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.10.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 7.1.3.10.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.1.3.10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 7.2

$lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) (\sqrt{x})}{(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x^{2} - 2 x - 1) (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x^{2} - 2 x - 1) (\sqrt{x})]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x^{2} - 2 x - 1) x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.13

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.15

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.16

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.18

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2 + 0)}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.20

Additionnez $6 x - 2$ et $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{(3 x^{2} - 2 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2)}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21

Simplifiez

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Étape 7.3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (6 x - 2)}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.21.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{x^{2} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.4

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.21.3.5.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{- \frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.21.3.5.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.5.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + x \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.7

Associez $x$ et $\frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{x \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.9

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.21.3.10.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 7.3.21.3.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}} x^{1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.10.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.11

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.21.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}}}{2 (1)} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 1 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.12.4

Divisez $- x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.13

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.21.3.14.1

Déplacez $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.3.21.3.14.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.14.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{3}{2}} \cdot 6 + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.15

Déplacez $6$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \cdot x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.16

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.17

Pour écrire $6 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.18

Associez $6 x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 6 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.20

Multipliez $2$ par $6$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 12 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.21

Additionnez $3 x^{\frac{3}{2}}$ et $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.3.22

Soustrayez $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.21.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1]}$

Étape 7.3.22

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23

Évaluez $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 2) \sqrt{x}]$ .

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Étape 7.3.23.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 2$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 2] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.23.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.15

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.16

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

Étape 7.3.23.17

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

Étape 7.3.23.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 7.3.23.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.23.19.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Étape 7.3.23.19.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

Étape 7.3.23.20

Placez le signe moins devant la fraction.

Étape 7.3.23.21

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.22

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.23

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.24

Additionnez $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.25

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.26

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.27

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.28

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.29

Pour écrire $(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.30

Associez $(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Étape 7.3.23.32

Associez $2$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.33

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.23.34

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 7.3.24

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25

Simplifiez

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Étape 7.3.25.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2

Associez des termes.

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Étape 7.3.25.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.2

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.4

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.5

Divisez $3$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.8

Additionnez $3$ et $3$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{6 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.9

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.10

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.11

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2} + 0}$

Étape 7.3.25.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.25.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)} + 0}$

Étape 7.3.25.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1} + 0}$

Étape 7.3.25.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{1} + 0}$

Étape 7.3.25.2.12.4

Divisez $3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 7.3.25.2.13

Additionnez $3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 7.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.4.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 \sqrt{x} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 7.4.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 \sqrt{x} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 7.4.3

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 \sqrt{x} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5

Associez des termes.

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Étape 7.5.1

Pour écrire $- 3 \sqrt{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{- 3 \sqrt{x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.2

Associez $- 3 \sqrt{x}$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{- 3 \sqrt{x} \cdot 2}{2} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.4

Pour écrire $\frac{- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.5

Multipliez $\frac{- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{3 - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.7

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}$

Étape 7.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} \frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{(- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (- 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 3 \sqrt{x} \cdot 2 + 15 x^{\frac{3}{2}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \cdot 2 + lim_{x \to 1} 15 x^{\frac{3}{2}}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.7

Placez le terme $3 \cdot 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 15 x^{\frac{3}{2}}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.8

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 15 x^{\frac{3}{2}}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.9

Placez le terme $15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 15 lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.10

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 15 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.11

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 15 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 15 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.13

Placez la limite sous le radical.

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 15 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 8.14

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

Étape 8.15

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

Étape 8.16

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

Étape 8.17

Placez la limite sous le radical.

Étape 8.18

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

Étape 8.19

Placez la limite sous le radical.

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 {(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 9.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$2 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 1 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $- 1 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 3 \cdot 2 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 6 \sqrt{1} + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 6 \cdot 1 + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 6 + 15 \cdot 1^{\frac{3}{2}}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 6 + 15 \cdot 1) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $15$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{(- 6 + 15) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 6$ et $15$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{9 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.2.6

Soustrayez $1$ de $9$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{1}} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (4)}{1} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{1} \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 (4 \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (4 \frac{1}{3 \sqrt{1} - 1 \cdot 1})$

Étape 10.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.6.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$2 (4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1})$

Étape 10.6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1})$

Étape 10.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (4 \frac{1}{3 - 1})$

Étape 10.6.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2 (4 (\frac{1}{2}))$

Étape 10.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2 (2) \frac{1}{2})$

Étape 10.7.2

Annulez le facteur commun.

$2 (2 \cdot 2 \frac{1}{2})$

Étape 10.7.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 10.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$