Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\tan ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.2.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs de $\sec^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\sec (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.5

Multipliez $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Étape 3.4.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.5.2

Associez $x$ et $\frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.5.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cdot \cos (2 x)}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ par $\frac{1}{2 \cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{{(lim_{x \to 0} \cos (x^{2}))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 14.2

Séparez les fractions.

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$

Étape 14.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$ à $\sec^{2} (0^{2})$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.5

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.6

Séparez les fractions.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{0}{1} \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.8

Divisez $0$ par $1$ .

$0 \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.9

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1 \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 \sec^{2} (0^{2})$

Étape 14.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \sec^{2} (0)$

Étape 14.12

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1^{2}$

Étape 14.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 \cdot 1$

Étape 14.14

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$