Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$ comme $e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})$ en déplaçant $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Étape 2.2

Associez $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ et $\ln (17 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (6) + 1) \ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Étape 2.3

Placez le terme $\ln (6) + 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \ln (17 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Étape 3.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.1.3.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Étape 3.1.3.4

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.1.3.5

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 17 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.3

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17 x$ par rapport à $x$ est $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \cdot 17 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.4

Associez $17$ et $\frac{1}{17 x}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.5

Annulez le facteur commun de $17$ .

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Étape 3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Étape 3.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (4 x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

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Étape 3.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.3.9.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.5

Associez $\frac{1}{4 x}$ et $4$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.9.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.9.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Étape 3.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 0}}$

Étape 3.3.11

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} x}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{x}$ et $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} 1}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\ln (6) + 1$ par $1$ .

$e^{\ln (6) + 1}$