Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - e^{x^{2}}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Étape 1.3.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{1 - e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 1.3.1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - e^{0^{2}}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{1 - e^{0}}$

Étape 1.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x^{2})}{1 - e^{x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2}) (6 x)}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.6

Réorganisez les facteurs de $\cos (3 x^{2}) (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1 - e^{x^{2}}]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]}$

Étape 3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x^{2}}]$ .

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Étape 3.9.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]}$

Étape 3.9.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.9.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 3.9.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 3.9.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - (e^{x^{2}} (2 x))}$

Étape 3.9.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 (e^{x^{2}} (x))}$

Étape 3.9.5

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{0 - 2 e^{x^{2}} x}$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Soustrayez $2 e^{x^{2}} x$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 e^{x^{2}} x}$

Étape 3.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{x^{2}} x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x \cos (3 x^{2})}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Étape 4

Réduisez.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $- 2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x \cos (3 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{- 2 x e^{x^{2}}}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x e^{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x \cos (3 x^{2}))}{2 (- x e^{x^{2}})}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cos (3 x^{2})}{- x e^{x^{2}}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x^{2})}{- e^{x^{2}}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \cos (3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{\cos (3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} - e^{x^{2}}}$

Étape 10

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- lim_{x \to 0} e^{x^{2}}}$

Étape 11

Placez la limite dans l’exposant.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{\cos (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0^{2})}{- e^{0^{2}}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{\cos (3 \cdot 0)}{- e^{0^{2}}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$3 \frac{\cos (0)}{- e^{0^{2}}}$

Étape 14.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \frac{1}{- e^{0^{2}}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{1}{- e^{0}}$

Étape 14.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 1}$

Étape 14.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Étape 14.4

Divisez $1$ par $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Étape 14.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3$