Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} e^{- x} \sqrt{x}$

Étape 1

Réécrivez $e^{- x} \sqrt{x}$ comme $\frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 2.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 2.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{e^{x}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Étape 2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{e^{x}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{1}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x} e^{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} e^{x} \sqrt{x}}$

Étape 2.8.2

Déplacez $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} (\sqrt{x} \sqrt{x})}$

Étape 2.8.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 2.8.4

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 2.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 2.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.8.7

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.8.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.8.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.8.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.8.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x^{1}}$

Étape 2.8.7.5

Simplifiez

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x}$

Étape 2.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt{x}}{2 e^{x} x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x e^{x}}$

Étape 3

Réduisez.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 x e^{x}}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 x e^{x}}$

Étape 3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (2 e^{x})}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{x (2 e^{x})}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 e^{x}}$

Étape 3.4

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x} x^{\frac{1}{2}}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$