Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x + 1 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.9

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.10

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.11.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{2 - (3 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 - 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{2 - 4 \cdot 1 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.1.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{2 - 4 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.2.11.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x + 1$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.14

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.15

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.16

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.17

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.4.18

Déplacez $3$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3

Associez des termes.

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Étape 3.6.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.4

Multipliez $3$ par $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.3.6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.6.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.6.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.7

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.9

Pour écrire $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.10

Associez $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.12

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.13

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.6.3.15

Additionnez $6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 4.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Pour écrire $6 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5.2

Associez $6 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5.4

Pour écrire $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Étape 6

Divisez $\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 7

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 12

Placez le terme $6 \cdot 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 14

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 1} \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 15

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 16

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 17

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 18

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 19

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 19.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 19.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 19.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 19.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20

Simplifiez la réponse.

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Étape 20.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.1.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \cdot 1) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.1.5

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.2

Soustrayez $9$ de $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}}$

Étape 20.1.6

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}}$

Étape 20.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 20.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Étape 20.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$