Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez l’exposant $\frac{1}{8}$ de ${(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $256$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 - {(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.1.6

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{2 - {(256 + 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.2

Additionnez $256$ et $0$ .

$\frac{2 - 256^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.3

Réécrivez $256$ comme $2^{8}$ .

$\frac{2 - {(2^{8})}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 - 2^{1}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $\frac{1}{5}$ de ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 1.3.1.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 1.3.1.5

Évaluez la limite de $32$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Étape 1.3.1.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.2

Additionnez $0$ et $32$ .

$\frac{0}{32^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.3

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{0}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{2^{1} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.6

Évaluez l’exposant.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.3.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ et $g (x) = 256 - 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $256 - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.4

Comme $256$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $256$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.8

Associez $- 1$ et $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.10.2

Soustrayez $8$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{- 7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.12

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.13

Soustrayez $7$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.14

Associez $\frac{1}{8}$ et ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.15

Associez $\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}$ et $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.16

Déplacez $- 7$ à gauche de ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7 {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.17

Placez ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.4.20

Multipliez $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ et $g (x) = 5 x + 32$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 32$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.5

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.9.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{- 4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.12

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.13

Associez $\frac{1}{5}$ et ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.14

Associez $\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ et $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.15

Déplacez $5$ à gauche de ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 \cdot {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.16

Multipliez $5$ par ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.17

Placez ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.18

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.7.19

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 3.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 5

Associez $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ et ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{7}{8}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{8} lim_{x \to 0} \frac{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $\frac{4}{5}$ de ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 10

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $32$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $\frac{7}{8}$ de ${(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 14

Évaluez la limite de $256$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 15

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Associez.

$\frac{7 {(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{7 {(0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.2

Additionnez $0$ et $32$ .

$\frac{7 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.3

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{7 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \cdot 2^{4}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.2.6

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.3.1

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 + 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.3.2

Additionnez $256$ et $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 256^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.3.3

Réécrivez $256$ comme $2^{8}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot {(2^{8})}^{\frac{7}{8}}}$

Étape 17.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Étape 17.3.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Étape 17.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{7}}$

Étape 17.3.6

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 128}$

Étape 17.4

Multipliez $7$ par $16$ .

$\frac{112}{8 \cdot 128}$

Étape 17.5

Multipliez $8$ par $128$ .

$\frac{112}{1024}$

Étape 17.6

Annulez le facteur commun à $112$ et $1024$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.6.1

Factorisez $16$ à partir de $112$ .

$\frac{16 (7)}{1024}$

Étape 17.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.6.2.1

Factorisez $16$ à partir de $1024$ .

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Étape 17.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Étape 17.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{64}$