Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.7.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.7.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.7.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}$

Étape 1.3.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (0)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Étape 1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.3.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (1 - x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.8

Associez $\frac{1}{1 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Étape 3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Étape 3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Étape 3.7.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}$

Étape 3.7.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}$

Étape 3.7.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}$

Étape 3.7.6

Supprimez les parenthèses.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Additionnez $0$ et $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Étape 3.8.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Étape 3.8.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Étape 3.8.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Étape 4

Comme la fonction approche de $\infty$ depuis la gauche et $- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$