Calcul infinitésimal Exemples

$g (y) = \frac{y - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y - 2$ et $g (y) = {(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} \frac{d}{d y} [y - 2] - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{({(y^{2} - 2 y + 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} - 2 y + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} \frac{d}{d y} [y - 2] - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} \frac{d}{d y} [y - 2] - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} (1 + 0) - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} \cdot 1 - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Multipliez ${(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - (y - 2) \frac{d}{d y} [{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}]}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = y^{2} - 2 y + 4$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2} - 2 y + 4$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - (y - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} - 2 y + 4$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - (y - 2) (2 (y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - 2 (y - 2) ((y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Factorisez $y^{2} - 2 y + 4$ à partir de ${(y^{2} - 2 y + 4)}^{2} - 2 (y - 2) ((y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])$ .

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Étape 1.1.4.2.1

Factorisez $y^{2} - 2 y + 4$ à partir de ${(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4) - 2 (y - 2) ((y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2.2

Factorisez $y^{2} - 2 y + 4$ à partir de $- 2 (y - 2) ((y^{2} - 2 y + 4) \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4) + (y^{2} - 2 y + 4) (- 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2.3

Factorisez $y^{2} - 2 y + 4$ à partir de $(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4) + (y^{2} - 2 y + 4) (- 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]))$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]))}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.5.1

Factorisez $y^{2} - 2 y + 4$ à partir de ${(y^{2} - 2 y + 4)}^{4}$ .

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]))}{(y^{2} - 2 y + 4) {(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y^{2} - 2 y + 4) (y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4]))}{(y^{2} - 2 y + 4) {(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - 2 y + 4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 2 y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y - 2 + \frac{d}{d y} [4])}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y - 2 + 0)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.12

Additionnez $2 y - 2$ et $0$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 (y - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13

Simplifiez

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Étape 1.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- 2 y - 2 \cdot - 2) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.13.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 + (- 2 y + 4) (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.2

Développez $(- 2 y + 4) (2 y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.13.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y (2 y - 2) + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y (2 y) - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y - 2)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 y (2 y) - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.13.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.13.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 \cdot 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.13.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 \cdot 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 2 \cdot 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 4 y^{2} - 2 y \cdot - 2 + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 4 y^{2} + 4 y + 4 (2 y) + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 4 y^{2} + 4 y + 8 y + 4 \cdot - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.1.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 4 y^{2} + 4 y + 8 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.1.3.2

Additionnez $4 y$ et $8 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 4 - 4 y^{2} + 12 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.2

Soustrayez $4 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{- 3 y^{2} - 2 y + 4 + 12 y - 8}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.3

Additionnez $- 2 y$ et $12 y$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 10 y + 4 - 8}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.2.4

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{- 3 y^{2} + 10 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{- (3 y^{2}) + 10 y - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $10 y$ .

$\frac{- (3 y^{2}) - (- 10 y) - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2}) - (- 10 y)$ .

$\frac{- (3 y^{2} - 10 y) - 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.6

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- (3 y^{2} - 10 y) - 1 (4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{2} - 10 y) - 1 (4)$ .

$\frac{- (3 y^{2} - 10 y + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.8

Réécrivez $- (3 y^{2} - 10 y + 4)$ comme $- 1 (3 y^{2} - 10 y + 4)$ .

$\frac{- 1 (3 y^{2} - 10 y + 4)}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.13.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = - \frac{3 y^{2} - 10 y + 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (y)$ par rapport à $y$ est $- \frac{3 y^{2} - 10 y + 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{3 y^{2} - 10 y + 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 y^{2} - 10 y + 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3 y^{2} - 10 y + 4}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 y^{2} - 10 y + 4 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 10$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 4)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.3

Soustrayez $48$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.3

Soustrayez $48$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.3.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.3.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 48}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.3

Soustrayez $48$ de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 2.3.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.3.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{13}}{3}$

Étape 2.3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{5 + \sqrt{13}}{3}, \frac{5 - \sqrt{13}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{y - 2}{{(y^{2} - 2 y + 4)}^{2}}$ sur chaque valeur $y$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $y = \frac{5 + \sqrt{13}}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $y$ par $\frac{5 + \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{(\frac{5 + \sqrt{13}}{3}) - 2}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{5 + \sqrt{13}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{5 + \sqrt{13}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 + \sqrt{13} - 2 \cdot 3}{3}}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4

Réécrivez $\frac{5 + \sqrt{13} - 2 \cdot 3}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{\frac{5 + \sqrt{13} - 6}{3}}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{({(\frac{5 + \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 + \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{{(5 + \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{{(5 + \sqrt{13})}^{2}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Réécrivez ${(5 + \sqrt{13})}^{2}$ comme $(5 + \sqrt{13}) (5 + \sqrt{13})$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{(5 + \sqrt{13}) (5 + \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.4

Développez $(5 + \sqrt{13}) (5 + \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 (5 + \sqrt{13}) + \sqrt{13} (5 + \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{13} + \sqrt{13} (5 + \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 5 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.5.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 5 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + 5 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + 5 \sqrt{13} + \sqrt{13 \cdot 13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.1.4

Multipliez $13$ par $13$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + 5 \sqrt{13} + \sqrt{169}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.1.5

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + 5 \sqrt{13} + \sqrt{13^{2}}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 \sqrt{13} + 5 \sqrt{13} + 13}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.2

Additionnez $25$ et $13$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 5 \sqrt{13} + 5 \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.5.3

Additionnez $5 \sqrt{13}$ et $5 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 + \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{5 + \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 2 (5 + \sqrt{13})}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 + \sqrt{13})}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.8

Pour écrire $- \frac{2 (5 + \sqrt{13})}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 + \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.2.9.1

Multipliez $\frac{2 (5 + \sqrt{13})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.11

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.12

Associez $4$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14

Réécrivez $\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 2 (5 + \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.2.2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} + (- 2 \cdot 5 - 2 \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} + (- 10 - 2 \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 10 \cdot 3 - 2 \sqrt{13} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.4

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 30 - 2 \sqrt{13} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 30 - 6 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.6

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 + 10 \sqrt{13} - 30 - 6 \sqrt{13} + 36}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.7

Soustrayez $30$ de $38$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{8 + 10 \sqrt{13} - 6 \sqrt{13} + 36}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.8

Additionnez $8$ et $36$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{44 + 10 \sqrt{13} - 6 \sqrt{13}}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.14.9

Soustrayez $6 \sqrt{13}$ de $10 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{44 + 4 \sqrt{13}}{9})}^{2}}$

Étape 4.1.2.2.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{44 + 4 \sqrt{13}}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{{(44 + 4 \sqrt{13})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.16

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{{(44 + 4 \sqrt{13})}^{2}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.17

Réécrivez ${(44 + 4 \sqrt{13})}^{2}$ comme $(44 + 4 \sqrt{13}) (44 + 4 \sqrt{13})$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{(44 + 4 \sqrt{13}) (44 + 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.18

Développez $(44 + 4 \sqrt{13}) (44 + 4 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 (44 + 4 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (44 + 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 \cdot 44 + 44 (4 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} (44 + 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 \cdot 44 + 44 (4 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 44 + 4 \sqrt{13} (4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.2.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.19.1.1

Multipliez $44$ par $44$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 44 (4 \sqrt{13}) + 4 \sqrt{13} \cdot 44 + 4 \sqrt{13} (4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.2

Multipliez $4$ par $44$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} \cdot 44 + 4 \sqrt{13} (4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.3

Multipliez $44$ par $4$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} (4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.4

Multipliez $4 \sqrt{13} (4 \sqrt{13})$ .

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Étape 4.1.2.2.19.1.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 {\sqrt{13}}^{2}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.1.2.2.19.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.2.19.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{1}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.1.6

Multipliez $16$ par $13$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13} + 208}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.2

Additionnez $1936$ et $208$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{2144 + 176 \sqrt{13} + 176 \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.1.2.2.19.3

Additionnez $176 \sqrt{13}$ et $176 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3}}{\frac{2144 + 352 \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{81}{2144 + 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{3 (27)}{2144 + 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 + \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 27}{2144 + 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27}{2144 + 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $\frac{27}{2144 + 352 \sqrt{13}}$ par $\frac{2144 - 352 \sqrt{13}}{2144 - 352 \sqrt{13}}$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) (\frac{27}{2144 + 352 \sqrt{13}} \cdot \frac{2144 - 352 \sqrt{13}}{2144 - 352 \sqrt{13}})$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $\frac{27}{2144 + 352 \sqrt{13}}$ par $\frac{2144 - 352 \sqrt{13}}{2144 - 352 \sqrt{13}}$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27 (2144 - 352 \sqrt{13})}{(2144 + 352 \sqrt{13}) (2144 - 352 \sqrt{13})}$

Étape 4.1.2.7

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27 (2144 - 352 \sqrt{13})}{4596736 - 754688 \sqrt{13} + 754688 \sqrt{13} - 123904 {\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 4.1.2.8

Simplifiez

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27 (2144 - 352 \sqrt{13})}{2985984}$

Étape 4.1.2.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.9.1

Factorisez $27$ à partir de $2985984$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27 (2144 - 352 \sqrt{13})}{27 \cdot 110592}$

Étape 4.1.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{27 (2144 - 352 \sqrt{13})}{27 \cdot 110592}$

Étape 4.1.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{2144 - 352 \sqrt{13}}{110592}$

Étape 4.1.2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.10.1

Annulez le facteur commun à $2144 - 352 \sqrt{13}$ et $110592$ .

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Étape 4.1.2.10.1.1

Factorisez $32$ à partir de $2144$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{32 (67) - 352 \sqrt{13}}{110592}$

Étape 4.1.2.10.1.2

Factorisez $32$ à partir de $- 352 \sqrt{13}$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{32 (67) + 32 (- 11 \sqrt{13})}{110592}$

Étape 4.1.2.10.1.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (67) + 32 (- 11 \sqrt{13})$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{32 (67 - 11 \sqrt{13})}{110592}$

Étape 4.1.2.10.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.10.1.4.1

Factorisez $32$ à partir de $110592$ .

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{32 (67 - 11 \sqrt{13})}{32 \cdot 3456}$

Étape 4.1.2.10.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{32 (67 - 11 \sqrt{13})}{32 \cdot 3456}$

Étape 4.1.2.10.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 + \sqrt{13}) \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456} + \sqrt{13} \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.10.3

Réécrivez $- 1 \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$ comme $- \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$ .

$- \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456} + \sqrt{13} \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.10.4

Associez $\sqrt{13}$ et $\frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456}$ .

$- \frac{67 - 11 \sqrt{13}}{3456} + \frac{\sqrt{13} (67 - 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (67 - 11 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (67 - 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 67 - (- 11 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (67 - 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $67$ .

$\frac{- 67 - (- 11 \sqrt{13}) + \sqrt{13} (67 - 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.3

Multipliez $- 11$ par $- 1$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + \sqrt{13} (67 - 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 67 + \sqrt{13} (- 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.5

Déplacez $67$ à gauche de $\sqrt{13}$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} (- 11 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.6

Multipliez $\sqrt{13} (- 11 \sqrt{13})$ .

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Étape 4.1.2.11.6.1

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \cdot \sqrt{13} - 11 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.6.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \cdot \sqrt{13} - 11 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}{3456}$

Étape 4.1.2.11.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \cdot \sqrt{13} - 11 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \cdot \sqrt{13} - 11 {\sqrt{13}}^{2}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.11.7.1

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.1.2.11.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.11.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{1}}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13}{3456}$

Étape 4.1.2.11.7.2

Multipliez $- 11$ par $13$ .

$\frac{- 67 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13} - 143}{3456}$

Étape 4.1.2.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.12.1

Soustrayez $143$ de $- 67$ .

$\frac{- 210 + 11 \sqrt{13} + 67 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.12.2

Additionnez $11 \sqrt{13}$ et $67 \sqrt{13}$ .

$\frac{- 210 + 78 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.12.3

Annulez le facteur commun à $- 210 + 78 \sqrt{13}$ et $3456$ .

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Étape 4.1.2.12.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 210$ .

$\frac{6 (- 35) + 78 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.1.2.12.3.2

Factorisez $6$ à partir de $78 \sqrt{13}$ .

$\frac{6 (- 35) + 6 (13 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.12.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- 35) + 6 (13 \sqrt{13})$ .

$\frac{6 (- 35 + 13 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.1.2.12.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.12.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $3456$ .

$\frac{6 (- 35 + 13 \sqrt{13})}{6 \cdot 576}$

Étape 4.1.2.12.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 35 + 13 \sqrt{13})}{6 \cdot 576}$

Étape 4.1.2.12.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 35 + 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.1.2.12.4

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.1.2.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $13 \sqrt{13}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 13 \sqrt{13})}{576}$

Étape 4.1.2.12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (35) - (- 13 \sqrt{13})$ .

$\frac{- 1 (35 - 13 \sqrt{13})}{576}$

Étape 4.1.2.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 - 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.2

Évaluez sur $y = \frac{5 - \sqrt{13}}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $y$ par $\frac{5 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{(\frac{5 - \sqrt{13}}{3}) - 2}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{5 - \sqrt{13}}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{5 - \sqrt{13}}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{5 - \sqrt{13} - 2 \cdot 3}{3}}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez $\frac{5 - \sqrt{13} - 2 \cdot 3}{3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{\frac{5 - \sqrt{13} - 6}{3}}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{({(\frac{5 - \sqrt{13}}{3})}^{2} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{{(5 - \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{{(5 - \sqrt{13})}^{2}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez ${(5 - \sqrt{13})}^{2}$ comme $(5 - \sqrt{13}) (5 - \sqrt{13})$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{(5 - \sqrt{13}) (5 - \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.4

Développez $(5 - \sqrt{13}) (5 - \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 (5 - \sqrt{13}) - \sqrt{13} (5 - \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} (5 - \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 5 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.5.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 + 5 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 5 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 5 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4

Multipliez $- \sqrt{13} (- \sqrt{13})$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 1 \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.2

Multipliez $\sqrt{13}$ par $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.4

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{2}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 13^{1}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{25 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13} + 13}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.2

Additionnez $25$ et $13$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 5 \sqrt{13} - 5 \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.5.3

Soustrayez $5 \sqrt{13}$ de $- 5 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} - 2 \frac{5 - \sqrt{13}}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.6

Associez $- 2$ et $\frac{5 - \sqrt{13}}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 2 (5 - \sqrt{13})}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 - \sqrt{13})}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.8

Pour écrire $- \frac{2 (5 - \sqrt{13})}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 - \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.2.9.1

Multipliez $\frac{2 (5 - \sqrt{13})}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13}}{9} - \frac{2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.11

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.12

Associez $4$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14

Réécrivez $\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 2 (5 - \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.2.2.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} + (- 2 \cdot 5 - 2 (- \sqrt{13})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.2

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} + (- 10 - 2 (- \sqrt{13})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} + (- 10 + 2 \sqrt{13}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 10 \cdot 3 + 2 \sqrt{13} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.5

Multipliez $- 10$ par $3$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 30 + 2 \sqrt{13} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 30 + 6 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.7

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{38 - 10 \sqrt{13} - 30 + 6 \sqrt{13} + 36}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.8

Soustrayez $30$ de $38$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{8 - 10 \sqrt{13} + 6 \sqrt{13} + 36}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.9

Additionnez $8$ et $36$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{44 - 10 \sqrt{13} + 6 \sqrt{13}}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.14.10

Additionnez $- 10 \sqrt{13}$ et $6 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{{(\frac{44 - 4 \sqrt{13}}{9})}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{44 - 4 \sqrt{13}}{9}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{{(44 - 4 \sqrt{13})}^{2}}{9^{2}}}$

Étape 4.2.2.2.16

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{{(44 - 4 \sqrt{13})}^{2}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.17

Réécrivez ${(44 - 4 \sqrt{13})}^{2}$ comme $(44 - 4 \sqrt{13}) (44 - 4 \sqrt{13})$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{(44 - 4 \sqrt{13}) (44 - 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.18

Développez $(44 - 4 \sqrt{13}) (44 - 4 \sqrt{13})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 (44 - 4 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (44 - 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 \cdot 44 + 44 (- 4 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} (44 - 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{44 \cdot 44 + 44 (- 4 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 44 - 4 \sqrt{13} (- 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.2.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.19.1.1

Multipliez $44$ par $44$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 + 44 (- 4 \sqrt{13}) - 4 \sqrt{13} \cdot 44 - 4 \sqrt{13} (- 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.2

Multipliez $- 4$ par $44$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} \cdot 44 - 4 \sqrt{13} (- 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.3

Multipliez $44$ par $- 4$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} (- 4 \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.4

Multipliez $- 4 \sqrt{13} (- 4 \sqrt{13})$ .

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Étape 4.2.2.2.19.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \sqrt{13} \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 {\sqrt{13}}^{2}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.2.2.2.19.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.19.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13^{1}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 16 \cdot 13}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.1.6

Multipliez $16$ par $13$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{1936 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13} + 208}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.2

Additionnez $1936$ et $208$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{2144 - 176 \sqrt{13} - 176 \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.2.2.2.19.3

Soustrayez $176 \sqrt{13}$ de $- 176 \sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3}}{\frac{2144 - 352 \sqrt{13}}{81}}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{81}{2144 - 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{3 (27)}{2144 - 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 - \sqrt{13}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 27}{2144 - 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27}{2144 - 352 \sqrt{13}}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{27}{2144 - 352 \sqrt{13}}$ par $\frac{2144 + 352 \sqrt{13}}{2144 + 352 \sqrt{13}}$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) (\frac{27}{2144 - 352 \sqrt{13}} \cdot \frac{2144 + 352 \sqrt{13}}{2144 + 352 \sqrt{13}})$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $\frac{27}{2144 - 352 \sqrt{13}}$ par $\frac{2144 + 352 \sqrt{13}}{2144 + 352 \sqrt{13}}$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27 (2144 + 352 \sqrt{13})}{(2144 - 352 \sqrt{13}) (2144 + 352 \sqrt{13})}$

Étape 4.2.2.7

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27 (2144 + 352 \sqrt{13})}{4596736 + 754688 \sqrt{13} - 754688 \sqrt{13} - 123904 {\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 4.2.2.8

Simplifiez

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27 (2144 + 352 \sqrt{13})}{2985984}$

Étape 4.2.2.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.9.1

Factorisez $27$ à partir de $2985984$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27 (2144 + 352 \sqrt{13})}{27 \cdot 110592}$

Étape 4.2.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{27 (2144 + 352 \sqrt{13})}{27 \cdot 110592}$

Étape 4.2.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{2144 + 352 \sqrt{13}}{110592}$

Étape 4.2.2.10

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.10.1

Annulez le facteur commun à $2144 + 352 \sqrt{13}$ et $110592$ .

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Étape 4.2.2.10.1.1

Factorisez $32$ à partir de $2144$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{32 (67) + 352 \sqrt{13}}{110592}$

Étape 4.2.2.10.1.2

Factorisez $32$ à partir de $352 \sqrt{13}$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{32 (67) + 32 (11 \sqrt{13})}{110592}$

Étape 4.2.2.10.1.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (67) + 32 (11 \sqrt{13})$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{32 (67 + 11 \sqrt{13})}{110592}$

Étape 4.2.2.10.1.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.10.1.4.1

Factorisez $32$ à partir de $110592$ .

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{32 (67 + 11 \sqrt{13})}{32 \cdot 3456}$

Étape 4.2.2.10.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{32 (67 + 11 \sqrt{13})}{32 \cdot 3456}$

Étape 4.2.2.10.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 - \sqrt{13}) \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456} - \sqrt{13} \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.10.3

Réécrivez $- 1 \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$ comme $- \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$ .

$- \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456} - \sqrt{13} \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.10.4

Associez $\frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456}$ et $\sqrt{13}$ .

$- \frac{67 + 11 \sqrt{13}}{3456} - \frac{(67 + 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.10.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (67 + 11 \sqrt{13}) - (67 + 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 67 - (11 \sqrt{13}) - (67 + 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.2

Multipliez $- 1$ par $67$ .

$\frac{- 67 - (11 \sqrt{13}) - (67 + 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.3

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - (67 + 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} + (- 1 \cdot 67 - (11 \sqrt{13})) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.5

Multipliez $- 1$ par $67$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} + (- 67 - (11 \sqrt{13})) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.6

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} + (- 67 - 11 \sqrt{13}) \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.8

Multipliez $- 11 \sqrt{13} \sqrt{13}$ .

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Étape 4.2.2.11.8.1

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.2.2.11.8.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}{3456}$

Étape 4.2.2.11.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 {\sqrt{13}}^{2}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.11.9.1

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 4.2.2.11.9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.11.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13^{1}}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 11 \cdot 13}{3456}$

Étape 4.2.2.11.9.2

Multipliez $- 11$ par $13$ .

$\frac{- 67 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13} - 143}{3456}$

Étape 4.2.2.12

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.12.1

Soustrayez $143$ de $- 67$ .

$\frac{- 210 - 11 \sqrt{13} - 67 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.12.2

Soustrayez $67 \sqrt{13}$ de $- 11 \sqrt{13}$ .

$\frac{- 210 - 78 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.12.3

Annulez le facteur commun à $- 210 - 78 \sqrt{13}$ et $3456$ .

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Étape 4.2.2.12.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 210$ .

$\frac{6 (- 35) - 78 \sqrt{13}}{3456}$

Étape 4.2.2.12.3.2

Factorisez $6$ à partir de $- 78 \sqrt{13}$ .

$\frac{6 (- 35) + 6 (- 13 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.2.2.12.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- 35) + 6 (- 13 \sqrt{13})$ .

$\frac{6 (- 35 - 13 \sqrt{13})}{3456}$

Étape 4.2.2.12.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.12.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $3456$ .

$\frac{6 (- 35 - 13 \sqrt{13})}{6 \cdot 576}$

Étape 4.2.2.12.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (- 35 - 13 \sqrt{13})}{6 \cdot 576}$

Étape 4.2.2.12.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 35 - 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.2.2.12.4

Réécrivez $- 35$ comme $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.2.2.12.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 \sqrt{13}$ .

$\frac{- 1 (35) - (13 \sqrt{13})}{576}$

Étape 4.2.2.12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (35) - (13 \sqrt{13})$ .

$\frac{- 1 (35 + 13 \sqrt{13})}{576}$

Étape 4.2.2.12.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{35 + 13 \sqrt{13}}{576}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{5 + \sqrt{13}}{3}, - \frac{35 - 13 \sqrt{13}}{576}), (\frac{5 - \sqrt{13}}{3}, - \frac{35 + 13 \sqrt{13}}{576})$

Étape 5