Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 \cos (x) + 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 \cos (x) + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$7 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 \sin (x) + 2 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 7 \sin (x) + 2$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 - 7 \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 - 7 \sin (x)$ .

$2 - 7 \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 - 7 \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 - 7 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 \sin (x) = - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 7 \sin (x) = - 2$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 7 \sin (x) = - 2$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{- 7}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{2}{7}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{2}{7})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{7})$ .

$x = 0.2897517$

Étape 2.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.2897517$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.2897517$

Étape 2.7.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.2897517$

Étape 2.7.3

Soustrayez $0.2897517$ de $3.14159265$ .

$x = 2.85184095$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.2897517 + 2 π n, 2.85184095 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $7 \cos (x) + 2 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0.2897517$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0.2897517$ .

$7 \cos (0.2897517) + 2 (0.2897517)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $0.2897517$ .

$7 \cos (0.2897517) + 0.5795034$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $7 \cos (0.2897517)$ et $0.5795034$ .

$7.28770733$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0.2897517 + 2 π$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0.2897517 + 2 π$ .

$7 \cos (0.2897517 + 2 π) + 2 (0.2897517 + 2 π)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Additionnez $0.2897517$ et $2 π$ .

$7 \cos (6.572937) + 2 (0.2897517 + 2 π)$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $0.2897517$ et $2 π$ .

$7 \cos (6.572937) + 2 \cdot 6.572937$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $6.572937$ .

$7 \cos (6.572937) + 13.14587401$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $7 \cos (6.572937)$ et $13.14587401$ .

$19.85407794$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0.2897517 + 4 π$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0.2897517 + 4 π$ .

$7 \cos (0.2897517 + 4 π) + 2 (0.2897517 + 4 π)$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Additionnez $0.2897517$ et $4 π$ .

$7 \cos (12.85612231) + 2 (0.2897517 + 4 π)$

Étape 4.3.2.1.2

Additionnez $0.2897517$ et $4 π$ .

$7 \cos (12.85612231) + 2 \cdot 12.85612231$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $12.85612231$ .

$7 \cos (12.85612231) + 25.71224463$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $7 \cos (12.85612231)$ et $25.71224463$ .

$32.42044856$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = 0.2897517 + 6 π$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $0.2897517 + 6 π$ .

$7 \cos (0.2897517 + 6 π) + 2 (0.2897517 + 6 π)$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Additionnez $0.2897517$ et $6 π$ .

$7 \cos (19.13930762) + 2 (0.2897517 + 6 π)$

Étape 4.4.2.1.2

Additionnez $0.2897517$ et $6 π$ .

$7 \cos (19.13930762) + 2 \cdot 19.13930762$

Étape 4.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $19.13930762$ .

$7 \cos (19.13930762) + 38.27861524$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $7 \cos (19.13930762)$ et $38.27861524$ .

$44.98681917$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = 0.2897517 + 8 π$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $0.2897517 + 8 π$ .

$7 \cos (0.2897517 + 8 π) + 2 (0.2897517 + 8 π)$

Étape 4.5.2

Simplifiez

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Additionnez $0.2897517$ et $8 π$ .

$7 \cos (25.42249293) + 2 (0.2897517 + 8 π)$

Étape 4.5.2.1.2

Additionnez $0.2897517$ et $8 π$ .

$7 \cos (25.42249293) + 2 \cdot 25.42249293$

Étape 4.5.2.1.3

Multipliez $2$ par $25.42249293$ .

$7 \cos (25.42249293) + 50.84498586$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $7 \cos (25.42249293)$ et $50.84498586$ .

$57.55318979$

Étape 4.6

Évaluez sur $x = 2.85184095$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez $x$ par $2.85184095$ .

$7 \cos (2.85184095) + 2 (2.85184095)$

Étape 4.6.2

Simplifiez

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Étape 4.6.2.1

Multipliez $2$ par $2.85184095$ .

$7 \cos (2.85184095) + 5.7036819$

Étape 4.6.2.2

Additionnez $7 \cos (2.85184095)$ et $5.7036819$ .

$- 1.00452202$

Étape 4.7

Évaluez sur $x = 2.85184095 + 2 π$ .

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Étape 4.7.1

Remplacez $x$ par $2.85184095 + 2 π$ .

$7 \cos (2.85184095 + 2 π) + 2 (2.85184095 + 2 π)$

Étape 4.7.2

Simplifiez

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Étape 4.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.2.1.1

Additionnez $2.85184095$ et $2 π$ .

$7 \cos (9.13502625) + 2 (2.85184095 + 2 π)$

Étape 4.7.2.1.2

Additionnez $2.85184095$ et $2 π$ .

$7 \cos (9.13502625) + 2 \cdot 9.13502625$

Étape 4.7.2.1.3

Multipliez $2$ par $9.13502625$ .

$7 \cos (9.13502625) + 18.27005251$

Étape 4.7.2.2

Additionnez $7 \cos (9.13502625)$ et $18.27005251$ .

$11.56184858$

Étape 4.8

Évaluez sur $x = 2.85184095 + 4 π$ .

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Étape 4.8.1

Remplacez $x$ par $2.85184095 + 4 π$ .

$7 \cos (2.85184095 + 4 π) + 2 (2.85184095 + 4 π)$

Étape 4.8.2

Simplifiez

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Étape 4.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.2.1.1

Additionnez $2.85184095$ et $4 π$ .

$7 \cos (15.41821156) + 2 (2.85184095 + 4 π)$

Étape 4.8.2.1.2

Additionnez $2.85184095$ et $4 π$ .

$7 \cos (15.41821156) + 2 \cdot 15.41821156$

Étape 4.8.2.1.3

Multipliez $2$ par $15.41821156$ .

$7 \cos (15.41821156) + 30.83642313$

Étape 4.8.2.2

Additionnez $7 \cos (15.41821156)$ et $30.83642313$ .

$24.1282192$

Étape 4.9

Évaluez sur $x = 2.85184095 + 6 π$ .

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Étape 4.9.1

Remplacez $x$ par $2.85184095 + 6 π$ .

$7 \cos (2.85184095 + 6 π) + 2 (2.85184095 + 6 π)$

Étape 4.9.2

Simplifiez

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Étape 4.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.2.1.1

Additionnez $2.85184095$ et $6 π$ .

$7 \cos (21.70139687) + 2 (2.85184095 + 6 π)$

Étape 4.9.2.1.2

Additionnez $2.85184095$ et $6 π$ .

$7 \cos (21.70139687) + 2 \cdot 21.70139687$

Étape 4.9.2.1.3

Multipliez $2$ par $21.70139687$ .

$7 \cos (21.70139687) + 43.40279374$

Étape 4.9.2.2

Additionnez $7 \cos (21.70139687)$ et $43.40279374$ .

$36.69458981$

Étape 4.10

Évaluez sur $x = 2.85184095 + 8 π$ .

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Étape 4.10.1

Remplacez $x$ par $2.85184095 + 8 π$ .

$7 \cos (2.85184095 + 8 π) + 2 (2.85184095 + 8 π)$

Étape 4.10.2

Simplifiez

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Étape 4.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.10.2.1.1

Additionnez $2.85184095$ et $8 π$ .

$7 \cos (27.98458218) + 2 (2.85184095 + 8 π)$

Étape 4.10.2.1.2

Additionnez $2.85184095$ et $8 π$ .

$7 \cos (27.98458218) + 2 \cdot 27.98458218$

Étape 4.10.2.1.3

Multipliez $2$ par $27.98458218$ .

$7 \cos (27.98458218) + 55.96916436$

Étape 4.10.2.2

Additionnez $7 \cos (27.98458218)$ et $55.96916436$ .

$49.26096042$

Étape 4.11

Indiquez tous les points.

$(0.2897517, 7.28770733), (0.2897517 + 2 π, 19.85407794), (0.2897517 + 4 π, 32.42044856), (0.2897517 + 6 π, 44.98681917), (0.2897517 + 8 π, 57.55318979), (2.85184095, - 1.00452202), (2.85184095 + 2 π, 11.56184858), (2.85184095 + 4 π, 24.1282192), (2.85184095 + 6 π, 36.69458981), (2.85184095 + 8 π, 49.26096042)$

Étape 5