Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} - 6 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x} - 6 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$e^{x} - 12 x$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 12 x + e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x + e^{x}$ .

$- 12 x + e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x + e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 12 x + e^{x} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.09129978, 3.82698356$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{x} - 6 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0.09129978$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0.09129978$ .

$e^{0.09129978} - 6 {(0.09129978)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $0.09129978$ à la puissance $2$ .

$e^{0.09129978} - 6 \cdot 0.00833565$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $0.00833565$ .

$e^{0.09129978} - 0.0500139$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $0.0500139$ de $e^{0.09129978}$ .

$1.04558349$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 3.82698356$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $3.82698356$ .

$e^{3.82698356} - 6 {(3.82698356)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $3.82698356$ à la puissance $2$ .

$e^{3.82698356} - 6 \cdot 14.64580317$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $14.64580317$ .

$e^{3.82698356} - 87.87481903$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $87.87481903$ de $e^{3.82698356}$ .

$- 41.95101631$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0.09129978, 1.04558349), (3.82698356, - 41.95101631)$

Étape 5