Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ comme ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 1.1.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.10.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Étape 1.1.2.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Étape 1.1.2.13

Soustrayez $3 x^{2}$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.2.14

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.2.15

Associez $- 3$ et $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Étape 1.1.2.16

Associez $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Étape 1.1.2.17

Placez ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2.18

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.19.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ comme ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez le $2 - x^{3}$ égal à $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{3} = - 2$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{3} = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{3} = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Étape 3.3.3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{2}$

Étape 4

Évaluez $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Étape 4.1.2.1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Étape 4.1.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt[3]{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt[3]{2}$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Étape 4.2.2.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Étape 4.2.2.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $\sqrt[3]{2}$ et $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Étape 5