Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 1.1.5.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.5.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 1.1.5.2.2

Associez $3$ et $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.2.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.4

Factorisez $3 e^{x} x^{4}$ à partir de $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ .

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Étape 1.1.6.4.1

Factorisez $3 e^{x} x^{4}$ à partir de $3 e^{x} x^{5}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.4.2

Factorisez $3 e^{x} x^{4}$ à partir de $- 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.4.3

Factorisez $3 e^{x} x^{4}$ à partir de $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.5

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{10}$ .

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Étape 1.1.6.5.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

Étape 1.1.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.5.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 1.1.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 1.1.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.3.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 e^{x} (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 5$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{6} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

Étape 4.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

Étape 5