Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [π]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 8 x = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $8 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 2 x (4) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $- 1$ plus $- 8$

$2 x (2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$2 x ((2 x - 1) (x - 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{2}, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Étape 4.1.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 4 \cdot 0 + π$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + π$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + π$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + π$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $π$ .

$π$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

${(\frac{1}{2})}^{4} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{4}}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{16} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{16} - 6 (\frac{1}{8}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{1}{16} + 2 (- 3) \frac{1}{8} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} - 3 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.8

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} + \frac{- 3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Étape 4.2.2.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + π$

Étape 4.2.2.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1}{2^{2}} + π$

Étape 4.2.2.1.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Étape 4.2.2.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Étape 4.2.2.1.13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 1 + π$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + π$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 1 + π$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{1 - 12}{16} + 1 + π$

Étape 4.2.2.5.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$\frac{- 11}{16} + 1 + π$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{16} + 1 + π$

Étape 4.2.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{11}{16} + \frac{16}{16} + π$

Étape 4.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 11 + 16}{16} + π$

Étape 4.2.2.9

Additionnez $- 11$ et $16$ .

$\frac{5}{16} + π$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{4} - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$256 - 6 \cdot 64 + 4 {(4)}^{2} + π$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $64$ .

$256 - 384 + 4 {(4)}^{2} + π$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$256 - 384 + 4^{1} {(4)}^{2} + π$

Étape 4.3.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 - 384 + 4^{1 + 2} + π$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$256 - 384 + 4^{3} + π$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$256 - 384 + 64 + π$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $384$ de $256$ .

$- 128 + 64 + π$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $- 128$ et $64$ .

$- 64 + π$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, π), (\frac{1}{2}, \frac{5}{16} + π), (4, - 64 + π)$

Étape 5