Calcul infinitésimal Exemples

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $U e^{t} + V e^{- t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $U$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $U e^{t}$ par rapport à $t$ est $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $V$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $V e^{- t}$ par rapport à $t$ est $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- t$ .

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Étape 1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

Étape 1.1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

Étape 1.1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{t} U - e^{- t} V$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{t} U - e^{- t} V$ .

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

Étape 1.2

La dérivée première de $F (t)$ par rapport à $t$ est $U e^{t} - V e^{- t}$ .

$U e^{t} - V e^{- t}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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