Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = | x^{2} - 16 |$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 16$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x + 0)$

Étape 1.1.2.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |} (2 x)$

Étape 1.1.2.4.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 16}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |} x$

Étape 1.1.2.4.3

Associez $\frac{2 (x^{2} - 16)}{| x^{2} - 16 |}$ et $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} - 32 x = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 32 x$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 32 x = 0$

Étape 2.3.1.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 32 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 16) = 0$

Étape 2.3.1.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 16)$ .

$2 x (x^{2} - 16) = 0$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$2 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 2.3.1.3

Factorisez.

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Étape 2.3.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$2 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.3.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.3.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{3} - 32 x}{| x^{2} - 16 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x^{2} - 16 | = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 16 = \pm 0$

Étape 3.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x^{2} - 16 = 0$

Étape 3.2.3

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 16$

Étape 3.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 3.2.5.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 3.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 3.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 3.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 3.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 3.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 4

Évaluez $| x^{2} - 16 |$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$| {(0)}^{2} - 16 |$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| 0 - 16 |$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$| - 16 |$

Étape 4.1.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 16$ et $0$ est $16$ .

$16$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$| {(- 4)}^{2} - 16 |$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| 16 - 16 |$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$| 0 |$

Étape 4.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$| {(4)}^{2} - 16 |$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| 16 - 16 |$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$| 0 |$

Étape 4.3.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 16), (- 4, 0), (4, 0)$

Étape 5