Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{\sin (x)}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$e^{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $e^{\sin (x)} \cos (x)$ .

$e^{\sin (x)} \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $e^{\sin (x)} \cos (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$e^{\sin (x)} \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{\sin (x)} = 0$

$\cos (x) = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{\sin (x)}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $e^{\sin (x)}$ égal à $0$ .

$e^{\sin (x)} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{\sin (x)} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\sin (x)}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{\sin (x)} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.4.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.4.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{\sin (x)} \cos (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{\sin (x)}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$e^{1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez

$e$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{3 π}{2})}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$e^{- \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 1}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, e), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{1}{e})$ , pour tout entier $n$

Étape 5