Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - 9 x^{2} + 25$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 x^{2} + 25$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x^{2} + 25$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 9 x^{2} + 25]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 9 x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 1.1.2.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + \frac{d}{d x} [25])$

Étape 1.1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x + 0)$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $- 18 x$ et $0$ .

$2 (- 9 x^{2} + 25) (- 18 x)$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$- 36 (- 9 x^{2} + 25) x$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 36 (- 9 x^{2}) - 36 \cdot 25) x$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 36 (- 9 x^{2}) x - 36 \cdot 25 x$

Étape 1.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 9$ par $- 36$ .

$324 x^{2} x - 36 \cdot 25 x$

Étape 1.1.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$324 (x^{1} x^{2}) - 36 \cdot 25 x$

Étape 1.1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$324 x^{1 + 2} - 36 \cdot 25 x$

Étape 1.1.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$324 x^{3} - 36 \cdot 25 x$

Étape 1.1.3.3.5

Multipliez $- 36$ par $25$ .

$f' (x) = 324 x^{3} - 900 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $324 x^{3} - 900 x$ .

$324 x^{3} - 900 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $324 x^{3} - 900 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$324 x^{3} - 900 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $36 x$ à partir de $324 x^{3} - 900 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $36 x$ à partir de $324 x^{3}$ .

$36 x (9 x^{2}) - 900 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $36 x$ à partir de $- 900 x$ .

$36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $36 x$ à partir de $36 x (9 x^{2}) + 36 x (- 25)$ .

$36 x (9 x^{2} - 25) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 25) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$36 x ({(3 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez.

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Étape 2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 5$ .

$36 x ((3 x + 5) (3 x - 5)) = 0$

Étape 2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 5$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{3}$

Étape 2.6

Définissez $3 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $3 x - 5$ égal à $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $3 x - 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 5$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $36 x (3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(- 9 x^{2} + 25)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(- 9 {(0)}^{2} + 25)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(- 9 \cdot 0 + 25)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

${(0 + 25)}^{2}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $25$ .

$25^{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$625$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{5}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(- 9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0^{2}$

Étape 4.2.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{5}{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

${(- 9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(- 9 \frac{25}{3^{2}} + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(- 9 (\frac{25}{9}) + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

${(9 (- 1) \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

${(9 \cdot - 1 \frac{25}{9} + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

${(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $25$ .

${(- 25 + 25)}^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0^{2}$

Étape 4.3.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 625), (- \frac{5}{3}, 0), (\frac{5}{3}, 0)$

Étape 5