Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$ comme ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 8 x + 17$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 8 x + 17$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 8 x + 17$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x^{2} + 8 x + 17)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 17]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 8 x + 17$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [17])$

Étape 1.1.10

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [17])$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [17])$

Étape 1.1.12

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 + \frac{d}{d x} [17])$

Étape 1.1.13

Comme $17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $17$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8 + 0)$

Étape 1.1.14

Additionnez $2 x + 8$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8)$

Étape 1.1.15

Simplifiez

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Étape 1.1.15.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 8)$ .

$(2 x + 8) \frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.2

Multipliez $2 x + 8$ par $\frac{1}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 8}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 8}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.4

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 4}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (x + 4)}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.15.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x + 4)}{2 ({(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.15.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 4)}{2 {(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15.6.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x + 4}{{(x^{2} + 8 x + 17)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 4 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\sqrt{x^{2} + 8 x + 17}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\sqrt{{(- 4)}^{2} + 8 (- 4) + 17}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 8 (- 4) + 17}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $8$ par $- 4$ .

$\sqrt{16 - 32 + 17}$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$\sqrt{- 16 + 17}$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $- 16$ et $17$ .

$\sqrt{1}$

Étape 4.1.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 4, 1)$

Étape 5