Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Associez $e^{- x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot - 1$

Étape 1.1.3.4.2

Associez $\frac{e^{- x}}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{2}$

Étape 1.1.3.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{2}$

Étape 1.1.3.4.3.2

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{2}$

Étape 1.1.3.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{e^{- x}}{2}$ .

$- \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{e^{- x}}{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$e^{- x} = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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